domingo, maio 24, 2009

The Kaleidoscope Formula


A motivação

Em tempos imemoriais, passeando pelo Jardim Botânico, entrei com meus pais numa lojinha de conveniência. Minha mãe ficou brincando com um pedaço de pau que fazia o barulho a chuva; meu pai olhava o mapa, programando os lugares para ir; e eu fiquei admirado com um tubo de cartolina multicolorida com um buraco e, que me disseram depois, era um caleidoscópio. Lembro vivamente olhando para as árvores e para dentro da loja, maravilhado com os desenhos que se formavam. Não o compramos porque era muito caro, apesar de não fazer ideia de quanto custava ou mesmo ter noção de como é que meus pais conseguiam dinheiro. Não lembro de possuir um na infância ou de encontrar à venda caleidoscópios. Mas recordo deles em duas escolas que frequentei. Depois disso, só os encontrava no imaginário e na saudade infantil, até que depois de velho, ganhei um de presente.

Outro dia fui desafiado por uma garota de olhos de caleidoscópio a fazer um. Não faço ideia de quantas vezes usaram o desafio como psicologia negativa comigo. Quase sempre funciona quando se trata de algo que envolva a inteligência. Depois de séculos sem ver geometria, pus-me a riscar num guardanapo as fórmulas para gerar um caleidoscópio.



Dado um espelho, qual será o raio do tubo?

Numa visão de topo, o tubo é visto como anel; os espelhos como retângulos onde a largura é o comprimento e a espessura, sua altura. Tudo que lembro de geometria são apenas duas informações: Teorema de Pitágoras; e a regra de semelhança de triângulos.

1) Achei $ h$ em função de $ l$ , usando Pitágoras em $ \triangle \left\lbrace l, \dfrac{l}{2}, h\right\rbrace $:
$ l^{2}=\left( \dfrac{l}{2}\right) ^{2}+h^{2}$
$ l^{2}-\dfrac{l^{2}}{4}=h^{2}$
$ h^2=\dfrac{3}{4} l^2$

$ h=\dfrac{\sqrt{3}l}{2}$


2) Achei $ r$ em função de $ l$ , usando semelhança de triângulos entre $ \triangle \left\lbrace r, r', \dfrac{l}{2} \right\rbrace $ e $ \triangle \left\lbrace l, \dfrac{l}{2}, h\right\rbrace $ :
$ \dfrac{r}{l}=\dfrac{\dfrac{l}{2}}{h}$
$ \dfrac{r}{l}=\dfrac{\dfrac{l}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}l}{2}}$
$ r=\dfrac{l}{\sqrt{3}}$

$ r=\dfrac{\sqrt{3}l}{3}$


3) Chamei de $ r'$ o raio circunferência inscrita em $ \triangle\left\lbrace l, l, l\right\rbrace$ :

$ r'=h-r$
$ r'=\dfrac{\sqrt{3}l}{2}-\dfrac{\sqrt{3}l}{3}$

$ r'=\dfrac{\sqrt{3}l}{6}$


4) Achei $ c$ em função de $ l$ e $ e$ , usando Pitágoras em $ \triangle \left\lbrace c, \dfrac{l}{2}, r'+e\right\rbrace $ :
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\left( r'+e\right)^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\left( \dfrac{\sqrt{3}l}{6}+e\right)^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\left(\dfrac{\sqrt{3}l}{6}\right)^2+2\left(\dfrac{\sqrt{3}l}{6}\right)e+e^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\dfrac{l^2}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}el+e^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}el+\dfrac{3}{3}e^2$

$ c= \dfrac{\sqrt{l^2+\sqrt{3}el+3e^2}}{\sqrt{3}}$



E o caminho contrário?

Eu só precisei de primeira parte, porque já tinha cortado os espelhos e precisava saber qual tubo e conexões seriam necessários. Dentre os que existem 25mm, 30mm, 40mm, 50mm, 60mm e por aí vai, quanto maior, mais caro. O detalhe é que essa medida é o diâmetro externo. Assim, é preciso considerar 5mm de espessura do tubo nos cálculos. E como o preço pode ser decisivo, pensei que talvez fosse bom considerar o diâmetro que se deseja ao caleidoscópio e, por ele, cortar os espelhos.

Voltando à última equação, isolei $ l$ em função de $ c$ e $ e$ :
$ c= \dfrac{\sqrt{l^2+\sqrt{3}el+3e^2}}{\sqrt{3}}$
$ 3c^2=l^2+\sqrt{3}el+3e^2$
$ l^2+\sqrt{3}el+3e^2-3c^2=0$

Lembram de $ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , onde $ \Delta=b^2-4ac$ ? Eu não lembrava, mas um amigo me relembrou (– Valeu, Andrei!).
$ \Delta=\left( \sqrt{3}e\right) ^2-4\left( 3e^2-3c^2\right)$
$ \Delta=3e^2-12e^2+12c^2=12e^2-9e^2$
$ \Delta=3(4c^2-3e^2)$
$ l=\dfrac{-\sqrt{3}e+\sqrt{3(4c^2-3e^2)}}{2}$

$ l=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}\sqrt{4c^2-3e^2}-\sqrt{3}e\right) $



E na prática, funciona?

É bom ressaltar que os cálculos feitos são em função do raio. O diâmetro é o dobro do raio.

Um espelho normalmente tem 3mm de espessura. Os tubos de PVC têm entre 3 a 5mm de espessura, sem tanta precisão milimétrica, as medidas são dadas por seu diâmetro. Contudo, esse é o limite do universo milimétrico para as dimensões. Quando se vai cortar um espelho, pedir ao vidraceiro que corte uma medida em milímetros é certeza haver alguma variação: três centímetros e meio, pode até dar, mas 38mm vai ser difícil de fazer. Com um vidraceiro, trabalhe com centímetros.

Contando com a imprecisão do diâmetro interno do tudo de PVC, com a imprecisão do corte no espelho, com a imprecisão do artista que fixará os três espelhos formando o "triângulo equilátero" de espelhos (com as faces reflexivas voltadas para dentro, claro), é bom trabalhar com folgas. Elas também serão importantes para revestir os espelhos a fim de que não tenham contato direto com o tubo e fique amortecido contra choques e quedas. No meu caso, usei jornal: amassei bastante duas folhas de jornal para que o papel ficasse mole e grosso, depois estirei as folhas e envolvi com elas os espelhos. Para dar um acabamento, cortei meias luas de E. V. A.



A prova


Caleidoscopio, originalmente uploaded por mythus.

O todo...


Caleidoscopio-visor, originalmente uploaded por mythus.

...é mais...


Caleidoscopio-espelhos, originalmente uploaded por mythus.

...que a soma...


VistaCaleidoscopica, originalmente uploaded por mythus.

...de cada uma...


ObjetosCaleidoscopicos, originalmente uploaded por mythus.

...de suas partes.

Gestalt



Sobre este post...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 2002-2-1 (1.71)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html caleidoscopio.tex

Também foram usados: Kyle, Gedit, Inkscape e Gimp.



Uma versão em PDF pode ser baixada daqui.

Postado por Mythus às 19:44

0 comentários:

Postar um comentário

Assinar: Postar comentários (Atom)