quinta-feira, dezembro 31, 2009

Amanheceu


Visão da Asa Norte, originalmente uploaded por mythus.

O alarme do relógio disparou.
Disparou também ele da cama.
Seis horas da madrugada.
Brasília dorme. João Pessoa já está de pé.
Respirou o ar frio da sacada. O último do ano.
2009 findava, muito diferente de como começou.

segunda-feira, novembro 30, 2009

HAO!


Maozinha, originalmente uploaded por mythus.

Novembro terminou como um dos melhores momentos do ano. Saudou Dezembro que chegou anunciando boas novas.

...é, meu Pai, gostei da mãozinha que o Senhor deu nessa reta final...

quinta-feira, outubro 29, 2009

Cercado


areia.vermelha, originalmente uploaded por mythus.

Não era nenhuma façanha nadar numa faixa com menos de 50 cm de profundidade. Achava até interessante fazê-lo quando existiam muitas pedras no chão pisaria. E com óculos de natação, conseguia até aproveitar o passeio.

Distraído percebeu tarde que a profundidade não superava muito 30 cm. Já não dava para nadar crawl nem peito. Algas deslisavam pelo peito, ventre e coxas. Tateava os corais para se deslocar. A vista era linda.

Quando o joelho direito tocou uma pedra, despertou-se. A maré ainda estava baixando e, logo, seria capturado tal como peixe, preso nas piscinas naturais. Mais uma pedra tocou o dedão do pé direito. Olhou para os lados e não encontrava um lugar mais profundo. Não havia areia no chão, só pedras. Precisava controlar-se e achar um canal. Apoiou as mãos em duas pedras e esticou os braços e ficou com o peito acima do mar. Não havia canal, só mar, vento e ondas.

Dirigiu-se para onde havia mais ondas. Arrastando-se lentamente. Quando uma onda vinha, adentrava mais rápido com a elevação da água. Suspendeu-se novamente e viu a que a água ficava mais azulada 10 m à frente.

quarta-feira, setembro 30, 2009

Crepúsculo


Crepúsculo-praia.do.jacaré, originalmente uploaded por mythus.

Custava a entender as palavras de Salomão:

"Melhor é o fim duma coisa do que o princípio; melhor é o paciente do que o arrogante."
Eclesiastes 7:8


Mas será mesmo que conseguiria entender? O fim de algo bom não seria ruim? A conquista ou derrota são encontradas apenas no fim? De qual fim está se falando?

Talvez pudesse perceber que a cada fim de uma coisa, sofrendo ou comemorando, tinha se aperfeiçoado como pessoa. Mas isso não o confortava. Não conseguia chegar a uma conclusão. Não queria chegar no fim de todas as coisas.

Nem todo fim era bom. Ou é (e as nuvens não deixam ver)?

segunda-feira, agosto 10, 2009

Tormento


Alvorecer, originalmente uploaded por mythus.

Disse Voltaire:

"Posso não concordar com uma só palavra do que dizeis, mas defenderei até a morte vosso direito de dizê-lo."


Isso pode ser bom na justiça e na política, mas não funciona nos relacionamentos. Prefiro ficar brigado com você do que brigando, quando todas as palavras são para ferir. O meu silêncio é para nos proteger.

O vento dissipará a nuvem.

terça-feira, julho 21, 2009

Couto de Fadar


tunel verde, originalmente uploaded por mythus.

Pela estrada a fora, eu vou bem sozinho
Levar-me, eu mesmo, por este caminho
Sei que vou bem longe e o caminho é deserto
Mas há uma luz ali, no meu futuro incerto.

quinta-feira, junho 25, 2009

Juju


Jujubas, originalmente uploaded por mythus.

– Você não acha que está muito velho para ficar fazendo essas coisas?
– Você não acha que está implicando comigo?
– Você não acha que eu não percebi que você está brincando com as jujubas?
– Você não acha que é legal separá-las por cor e depois comer?
– Você não acha que isso é coisa de doido?
– Você não acha que eu também não percebi que você está brincando comigo?
– Você não acha que a gente já está brincando há muito tempo aqui?
– Eu me rendo! Perdi! Perdi!
– Você não acha que eu não tenha um prêmio de consolação?

segunda-feira, junho 01, 2009

Pela atenção dispensada


Conta, originalmente uploaded por mythus.

Nunca fui cobrado pela atenção.
Ainda bem que não foi cara.

domingo, maio 24, 2009

The Kaleidoscope Formula


A motivação

Em tempos imemoriais, passeando pelo Jardim Botânico, entrei com meus pais numa lojinha de conveniência. Minha mãe ficou brincando com um pedaço de pau que fazia o barulho a chuva; meu pai olhava o mapa, programando os lugares para ir; e eu fiquei admirado com um tubo de cartolina multicolorida com um buraco e, que me disseram depois, era um caleidoscópio. Lembro vivamente olhando para as árvores e para dentro da loja, maravilhado com os desenhos que se formavam. Não o compramos porque era muito caro, apesar de não fazer ideia de quanto custava ou mesmo ter noção de como é que meus pais conseguiam dinheiro. Não lembro de possuir um na infância ou de encontrar à venda caleidoscópios. Mas recordo deles em duas escolas que frequentei. Depois disso, só os encontrava no imaginário e na saudade infantil, até que depois de velho, ganhei um de presente.

Outro dia fui desafiado por uma garota de olhos de caleidoscópio a fazer um. Não faço ideia de quantas vezes usaram o desafio como psicologia negativa comigo. Quase sempre funciona quando se trata de algo que envolva a inteligência. Depois de séculos sem ver geometria, pus-me a riscar num guardanapo as fórmulas para gerar um caleidoscópio.



Dado um espelho, qual será o raio do tubo?

Numa visão de topo, o tubo é visto como anel; os espelhos como retângulos onde a largura é o comprimento e a espessura, sua altura. Tudo que lembro de geometria são apenas duas informações: Teorema de Pitágoras; e a regra de semelhança de triângulos.

1) Achei $ h$ em função de $ l$ , usando Pitágoras em $ \triangle \left\lbrace l, \dfrac{l}{2}, h\right\rbrace $:
$ l^{2}=\left( \dfrac{l}{2}\right) ^{2}+h^{2}$
$ l^{2}-\dfrac{l^{2}}{4}=h^{2}$
$ h^2=\dfrac{3}{4} l^2$

$ h=\dfrac{\sqrt{3}l}{2}$


2) Achei $ r$ em função de $ l$ , usando semelhança de triângulos entre $ \triangle \left\lbrace r, r', \dfrac{l}{2} \right\rbrace $ e $ \triangle \left\lbrace l, \dfrac{l}{2}, h\right\rbrace $ :
$ \dfrac{r}{l}=\dfrac{\dfrac{l}{2}}{h}$
$ \dfrac{r}{l}=\dfrac{\dfrac{l}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}l}{2}}$
$ r=\dfrac{l}{\sqrt{3}}$

$ r=\dfrac{\sqrt{3}l}{3}$


3) Chamei de $ r'$ o raio circunferência inscrita em $ \triangle\left\lbrace l, l, l\right\rbrace$ :

$ r'=h-r$
$ r'=\dfrac{\sqrt{3}l}{2}-\dfrac{\sqrt{3}l}{3}$

$ r'=\dfrac{\sqrt{3}l}{6}$


4) Achei $ c$ em função de $ l$ e $ e$ , usando Pitágoras em $ \triangle \left\lbrace c, \dfrac{l}{2}, r'+e\right\rbrace $ :
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\left( r'+e\right)^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\left( \dfrac{\sqrt{3}l}{6}+e\right)^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\left(\dfrac{\sqrt{3}l}{6}\right)^2+2\left(\dfrac{\sqrt{3}l}{6}\right)e+e^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{4}+\dfrac{l^2}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}el+e^2$
$ c^2= \dfrac{l^2}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}el+\dfrac{3}{3}e^2$

$ c= \dfrac{\sqrt{l^2+\sqrt{3}el+3e^2}}{\sqrt{3}}$



E o caminho contrário?

Eu só precisei de primeira parte, porque já tinha cortado os espelhos e precisava saber qual tubo e conexões seriam necessários. Dentre os que existem 25mm, 30mm, 40mm, 50mm, 60mm e por aí vai, quanto maior, mais caro. O detalhe é que essa medida é o diâmetro externo. Assim, é preciso considerar 5mm de espessura do tubo nos cálculos. E como o preço pode ser decisivo, pensei que talvez fosse bom considerar o diâmetro que se deseja ao caleidoscópio e, por ele, cortar os espelhos.

Voltando à última equação, isolei $ l$ em função de $ c$ e $ e$ :
$ c= \dfrac{\sqrt{l^2+\sqrt{3}el+3e^2}}{\sqrt{3}}$
$ 3c^2=l^2+\sqrt{3}el+3e^2$
$ l^2+\sqrt{3}el+3e^2-3c^2=0$

Lembram de $ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , onde $ \Delta=b^2-4ac$ ? Eu não lembrava, mas um amigo me relembrou (– Valeu, Andrei!).
$ \Delta=\left( \sqrt{3}e\right) ^2-4\left( 3e^2-3c^2\right)$
$ \Delta=3e^2-12e^2+12c^2=12e^2-9e^2$
$ \Delta=3(4c^2-3e^2)$
$ l=\dfrac{-\sqrt{3}e+\sqrt{3(4c^2-3e^2)}}{2}$

$ l=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}\sqrt{4c^2-3e^2}-\sqrt{3}e\right) $



E na prática, funciona?

É bom ressaltar que os cálculos feitos são em função do raio. O diâmetro é o dobro do raio.

Um espelho normalmente tem 3mm de espessura. Os tubos de PVC têm entre 3 a 5mm de espessura, sem tanta precisão milimétrica, as medidas são dadas por seu diâmetro. Contudo, esse é o limite do universo milimétrico para as dimensões. Quando se vai cortar um espelho, pedir ao vidraceiro que corte uma medida em milímetros é certeza haver alguma variação: três centímetros e meio, pode até dar, mas 38mm vai ser difícil de fazer. Com um vidraceiro, trabalhe com centímetros.

Contando com a imprecisão do diâmetro interno do tudo de PVC, com a imprecisão do corte no espelho, com a imprecisão do artista que fixará os três espelhos formando o "triângulo equilátero" de espelhos (com as faces reflexivas voltadas para dentro, claro), é bom trabalhar com folgas. Elas também serão importantes para revestir os espelhos a fim de que não tenham contato direto com o tubo e fique amortecido contra choques e quedas. No meu caso, usei jornal: amassei bastante duas folhas de jornal para que o papel ficasse mole e grosso, depois estirei as folhas e envolvi com elas os espelhos. Para dar um acabamento, cortei meias luas de E. V. A.



A prova


Caleidoscopio, originalmente uploaded por mythus.

O todo...


Caleidoscopio-visor, originalmente uploaded por mythus.

...é mais...


Caleidoscopio-espelhos, originalmente uploaded por mythus.

...que a soma...


VistaCaleidoscopica, originalmente uploaded por mythus.

...de cada uma...


ObjetosCaleidoscopicos, originalmente uploaded por mythus.

...de suas partes.

Gestalt



Sobre este post...

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Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

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latex2html caleidoscopio.tex

Também foram usados: Kyle, Gedit, Inkscape e Gimp.



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